Question

一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．
（I）从袋中随机抽取一个球，将其编号记为a，然后从袋中余下的三个球中再随机抽取一个球，将其编号记为b．求关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0有实根的概率；
（II）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n．若以（m，n）作为点P的坐标，求点P落在区域内的概率．

Answer

（I）本题是一个古典概型，由分步计数原理知基本事件共12个，当a＞0，b＞0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b，满足条件的事件中包含6个基本事件，由古典概型公式得到结果．
（II）本题也是一个古典概型，由分步计数原理知基本事件共16个，满足条件落在区域内的事件中包含4个基本事件，由古典概型公式得到结果．
【解析】
设事件A为“方程a2+2ax+b2=0有实根”．
当a＞0，b＞0时，方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为a≥b．
基本事件共12个：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），
（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），
（4，2），（4，3），其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．
事件A中包含6个基本事件：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），
事件A发生的概率为；
（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，放回后再从袋中随机取一个球，点P（m，n）的所有可能有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个，
落在区域内的有（1，1），（2，1），（2，2），（3，1）共4个，
所以点P落在区域内的概率为．