Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足（O为坐标原点），当|-|＜时，求实数t取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题意知，所以．由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0再由根的判别式和嘏达定理进行求解．
【解析】
（Ⅰ）由题意知，所以．
即a2=2b2．（2分）
又因为，所以a2=2，．
故椭圆C的方程为．（4分）
（Ⅱ）由题意知直线AB的斜率存在．设AB：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），
由得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0．△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）＞0，．（6分）
，∵∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），
∴，
∵点P在椭圆上，∴，∴16k2=t2（1+2k2）．（8分）
∵＜，∴，∴
∴，∴（4k2-1）（14k2+13）＞0，∴．（10分）
∴，∵16k2=t2（1+2k2），∴，
∴或，∴实数t取值范围为．（12分）