Question

选做题
如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H．求证：
（Ⅰ）C，D，F，E四点共圆；
（Ⅱ）GH²=GE•GF．

Answer

（I）连接BC．由已知中AB是⊙O的直径，可得∠ACB=90°，由过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，可得∠AGE=90°，进而得到∠FDC=∠AEG，根据圆内接四边形判定定理，即可得到C，D，F，E四点共圆；
（Ⅱ）由（I）中C，D，F，E四点共圆，则GCD和GEF分别为圆的两条件割线，则GE•GF=GC•GD，又由已知中GH为圆O的切线，GCD为圆O的割线，由切割线定理可得GH2=GC•GD，进而得到结论．
证明：（Ⅰ）连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵AG⊥FG，
∴∠AGE=90°．又∠EAG=∠BAC，∴∠ABC=∠AEG．又∠FDC=∠ABC，
∴∠FDC=∠AEG．∴∠FDC+∠CEF=180°．
∴C，D，F，E四点共圆．（5分）
（Ⅱ）∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，∴GH2=GC•GD．
由C，D，F，E四点共圆，得∠GCE=∠AFE，∠GEC=∠GDF．
∴△GCE∽△GFD．∴=，即GC•GD=GE•GF，
∴CH2=GE•GF．（10分）