函数g(x)=Ax+B(A,B为常数)是函数f(x)的一个承托函数,即说明函数f(x)的图象恒在函数g(x)的上方(至多有一个交点)①举例可以说明,如f(x)=cosx,则g(x)=B(B<-1)就是它的一个承托函数,且有无数个,反例如
y=tanx或y=lgx就没有承托函数;②f(x)=2x+3的定义域和值域都是R,存在一个承托函数y=2x+1,故命题②不正确;③要说明g(x)=2x为函数f(x)=|3x|的一个承托函数;即证明F(x)=ex-2x的图象恒在x轴上方;④举反例即可.
【解析】
①如f(x)=sinx,则g(x)=B(B<-1)就是它的一个承托函数,且有无数个,再如y=tanx.y=lgx就没有承托函数,∴命题①正确;
②f(x)=2x+3的定义域和值域都是R,存在一个承托函数y=2x+1,故命题②不正确;
③令F(x)═|3x|-2x=,
可见在x≥0时,函数F(x)单调递增,最小值F(0)=0,
在x<0时,函数F(x)单调递减,最小值大于F(0)=0,
∴F(x)≥0在R上恒成立,符合定义
∴命题③正确;
④x=1时,g(1)=,f(1)=1,显然g(1)<f(1),
当x=时,g( )=,f( )=,显然g( )>f( ),
命题④不正确.
故答案为:①③