Question

设函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）若x=1时，函数f（x）取得极值，求函数f（x）的图象在x=-1处的切线方程；
（2）若函数f（x）在区间内不单调，求实数a的取值范围．

Answer

（1）求出导函数，令导函数在x=1处的值为0，求出f（x）的 解析式，将x=-1代入f（x）求出切点坐标，将x=-1代入导函数求出切线的斜率，利用点斜式求出切线的方程．
（2）函数不单调，即函数在区间有极值，即导函数在区间上有解，令导函数为0，分离出a，求出a的范围．
【解析】
（1）f'（x）=3x2+2ax+1由f'（1）=0得a=-2
∴f（x）=x3-2x2+x+1
当x=-1时，y=-3即切点（-1，-3）
k=f'（x）=3x2-4x+1令x=-1得k=8
∴切线方程为8x-y+5=0
（2f（x）在区间内不单调即f′（x）=0在有解
∴3x2+2ax+1=0在有解
∴
令h（x）=
∴
知h（x）在单调递减，在单调递增
∴
即h（x）
∴
即
而当时，
∴舍去
综上