Question

已知正项数列a_n满足：a₁=1，n≥2时，（n-1）a_n²=na_n-1²+n²-n．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）设a_n=2ⁿ•b_n，数列b_n的前n项和为S_n，是否存在正整数m，使得对任意的n∈N*，m-3＜S_n＜m恒成立？若存在，求出所有的正整数m；若不存在，说明理由．

Answer

（1）先由（n-1）an2=nan-12+n2-n得，令可得Bn-Bn-1=1，求出Bn=B1+（n-1）d，利用其结论即可求出数列{an}的通项公式；
（2）先利用错位相减法求出Sn的表达式，进而求出Sn的最大最小值（或范围）即可求出所有的正整数m．
【解析】
（1）由（n-1）an2=nan-12+n2-n
得，令∴Bn-Bn-1=1（n≥2）
∴Bn=B1+（n-1）d
而
∴Bn=1+（n-1）•1=n即
即an2=n2，
由正项数列知an=n（6分）
（2）由an=2n•bn得
∴sn=b1+b2+…+bn
=…+   ①
sn=…+   ②
①-②：sn=+…+-
∴sn=2-，．
∴＞0．
∴Sn的
而Sn的max→2
∴当m=2或m=3时
使m-3＜Sn＜m恒成立（13分）