Question

已知数列{a_n}为等差数列，a₃=5，a₇=13，数列{b_n}的前n项和为S_n，且有S_n=2b_n-1
（1）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_nb_n，{c_n}的前n项和为T_n，求T_n；
（3）试比较T_n与a_nS_n的大小，并说明理由．

Answer

（1）直接利用a3=5，a7=13，列出关于首项和公差的等式，求出首项和公差即可求{an}的通项公式；再利用Sn=2bn-1及Sn-1=2bn-1-1可得bn=2bn-2bn-1，整理得是公比为2 的等比数列，再求出首项即可求{bn}的通项公式；
（2）先整理出{cn}的通项公式，因为是一等差数列乘一等比数列组成的新数列，所以直接利用错位相减法求和即可；
（3）对Tn与anSn作差整理得2（n+1-2n），再研究对应函数f（x）=x+1-2x（x≥1）的单调性求出其最值即可比较出Tn与anSn的大小．
【解析】
（1）∵{an}是等差数列，且a3=5，a7=13，设公差为d．
∴，解得
∴an=1+2（n-1）=2n-1（n∈N*）（2分）
在{bn}中，∵Sn=2bn-1
当n=1时，b1=2b1-1，∴b1=1
当n≥2时，由Sn=2bn-1及Sn-1=2bn-1-1可得bn=2bn-2bn-1，∴bn=2bn-1
∴{bn}是首项为1公比为2的等比数列
∴bn=2n-1（n∈N*）（4分）
（2）cn=anbn=（2n-1）•2n-1
Tn=1+3•2+5•22++（2n-1）•2n-1①
2Tn=1•2+3•22+5•23++（2n-3）•2n-1+（2n-1）•2n②
①-②得-Tn=1+2•2+2•22++2•2n-1-（2n-1）•2n
=
=1+4（2n-1-1）-（2n-1）•2n
=-3-（2n-3）•2n
∴Tn=（2n-3）•2n+3（n∈N*）（8分）
（3）Tn-anSn=（2n-3）•2n+3-（2n-1）（2n-1）
=（2n-3）•2n+3-（2n-1）•2n+2n-1
=2n+2-2•2n
=2（n+1-2n）（9分）
令f（x）=x+1-2x（x≥1），则f'（x）=1-2xln2
∵f'（x）在[1，+∞）是减函数，又f'（1）=1-2ln2=1-ln4＜0
∴x≥1时，f'（x）＜0
∴x≥1时，f（x）是减函数．
又f（1）=1+1-2=0
∴x≥1时，f（x）≤0
∴x≥1时，x+1-2x≤0（13分）
∴n∈N*时，n+1-2n≤0
∴n∈N*时，Tn≤anSn（14分）