Question

已知函数f（x）=lnx-ax-3（a≠0），
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[1，2]，若函数在区间（a，3）上有最值，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．

Answer

（Ⅰ）先对函数f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案；
（Ⅱ）函数g（x）在区间（a，3）上有最值，说明函数g（x）在区间（a，3）上先增后减或先减后增，解不等式g/（a）•g/（3）＜0，，再解关于a的不等式恒成立，可得m的取值范围；
（Ⅲ）令a=1得f（x）=lnx-x-3，再利用（I）中单调性的结论得出当x∈（0，+∞）时f（x）＜f（1），即ln（x+1）＜x对一切x∈（0，+∞）成立，取自变量得，再分别取n=2，3，…，n，将n-1个不等式累加可得要证的不等式成立．
【解析】
（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，+∞），且，
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），减区间为（）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），无减区间；（4分）
（Ⅱ），∴g'（x）=3x2+（m+2a）x-1，∵g（x）在区间（a，3）上有最值，∴g（x）在区间（a，3）上不总是单调函数，
又（6分）
由题意知：对任意a∈[1，2]，g'（a）=3a2+（m+2a）•a-1=5a2+ma-1＜0恒成立，∴，因为a∈[1，2]，所以，
对任意，a∈[1，2]，g'（3）=3m+26+6a＞0恒成立，∴∴（9分）
（Ⅲ）令a=1此时f（x）=lnx-x-3，由（Ⅰ）知f（x）=lnx-x-3在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴当x∈（0，+∞）时f（x）＜f（1），∴lnx＜x-1对一切x∈（0，+∞）成立，∴ln（x+1）＜x对一切x∈（0，+∞）成立，∵n≥2，n∈N*，则有，（12分）∴
=
（14分）