Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，且函数f（x+1）为奇函数．给出下列结论：
①函数f（x）的最小正周期为4；
②函数f（x）的图象关于（1，0）对称；
③函数f（x）的图象关于x=2对称；
④函数f（x）的最大值为f（2）．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

Answer

由f（x+2）+f（x）=0可变形为f（x+4）=-f（x+2）=f（x）符合周期函数的定义，由函数f（x+1）为奇函数结合其定义可得到f（1-x）=-f（1+x），再变形为f（2-x）=-f（x）符合点对称的定义从而得解．
【解析】
由f（x+2）+f（x）=0
可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x）
∴其周期是4
由函数f（x+1）为奇函数
可得f（1-x）=-f（1+x）
可变形为：f（2-x）=-f（x）
可知函数f（x）图象关于点（1，0）对称
故选A