Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为y=3x+1．
（Ⅰ）若y=f（x）在x=-2时有极值，求y=f（x）表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求y=f（x）在[-3，1]的最大值；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在[-1，0]上单调递减，求实数b的取值范围．

Answer

（I）根据导数的几何意义及函数在极值点处的导数为0得到方程组，求出a，b，c的值．
（II）求出导函数，列出x、f'（x）、f（x）的关系表，由表求出函数的最大值．
（III）根据函数y=f（x）在[-1，0]上单调递减，令f′（x）≤≤0在[-1，0]上恒成立，利用二次函数的性质得到，求出b的范围．
【解析】
（I）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得f'（x）=3x2+2ax+b
由题知
所以f（x）=x3+2x2-4x+5
（II）f'（x）=3x2+2ax+b=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2），则x、f'（x）、f（x）的关系如下表．

x -3 （-3，-2） -2 1
f'（x） + - +
f（x） 8 ↑ 极大 ↓ 极小 ↑ 4

∵f（x）极大=f（-2）=13，f（-3）=8，f（1）=4
∴f（x）在[-3，1]的最大值为13
（III）由题意知，f′（x）≤≤0在[-1，0]上恒成立，
由（I）知即f'（x）=3x2+-bx+b=3x2+b≤0在[-1，0]上恒成立，
利用二次函数的性质，有，
从而得b