Question

给定椭圆＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F的距离为．
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．
（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点．求证：l₁⊥l₂．

Answer

（1）欲求椭圆C的方程和其“准圆”方程，只要求出半径即可，即分别求出椭圆方程中的a，b即得，这由题意不难求得；
（2）先分两种情况讨论：①当l1，l2中有一条无斜率时；②．②当l1，l2都有斜率时，第一种情形比较简单，对于第二种情形，将与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x-x）+y，代入椭圆方程，消去去y得到一个关于x的二次方程，根据根的判别式等于0得到一个方程：（3-x2）t2+2xyt+（x2-3）=0，而直线l1，l2的斜率正好是这个方程的两个根，从而证得l1⊥l2．
【解析】
（1）因为，所以b=1
所以椭圆的方程为，
准圆的方程为x2+y2=4．
（2）①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，
因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，
当l1方程为时，此时l1与准圆交于点，
此时经过点（或且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=-1），
即l2为y=1（或y=-1），显然直线l1，l2垂直；
同理可证l1方程为时，直线l1，l2垂直．
②当l1，l2都有斜率时，设点P（x，y），其中x2+y2=4，
设经过点P（x，y），与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x-x）+y，
则，消去y得到x2+3（tx+（y-tx））2-3=0，
即（1+3t2）x2+6t（y-tx）x+3（y-tx）2-3=0，△=[6t（y-tx）]2-4•（1+3t2）[3（y-tx）2-3]=0，
经过化简得到：（3-x2）t2+2xyt+1-y2=0，因为x2+y2=4，所以有（3-x2）t2+2xyt+（x2-3）=0，
设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，
所以t1，t2满足上述方程（3-x2）t2+2xyt+（x2-3）=0，
所以t1•t2=-1，即l1，l2垂直．