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已知二次函数f(x)=ax2+bx+c. (1)若f(-1)=0,试判断函数f(...

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若f(-1)=0,试判断函数f(x)零点个数;
(2)若对∀x1,x2∈R,且x1<x2,f(x1)≠f(x2),试证明∃x∈(x1,x2),使manfen5.com 满分网成立.
(3)是否存在a,b,c∈R,使f(x)同时满足以下条件①对∀x∈R,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥0;②对∀x∈R,都有manfen5.com 满分网.若存在,求出a,b,c的值,若不存在,请说明理由.
(1)将x=-1代入得到关于a、b、c的关系式,再由△确定零点个数. (2)令g(x)=f(x)-,再由函数零点的判定定理可证. (3)假设存在a,b,c∈R使得条件成立,由①可知函数f(x)的对称轴是x=-1,且最小值为0,由此可知a=c;由②知将x=1代入可求的a=c=,b=,最后验证即可. 解析:(1)∵f(-1)=0, ∴a-b+c=0,b=a+c ∵△=b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2 当a=c时△=0,函数f(x)有一个零点; 当a≠c时,△>0,函数f(x)有两个零点. (2)令,则, ∴ ∴g(x)=0在(x1,x2)内必有一个实根.即∃x∈(x1,x2),使成立. (3)假设a,b,c存在,由①知抛物线的对称轴为x=-1,且f(x)min=0 ∴⇒b=2a,b2=4ac⇒4a2=4ac⇒a=c 由②知对∀x∈R,都有 令x=1得0≤f(1)-1≤0⇒f(1)-1=0⇒f(1)=1⇒a+b+c=1 由得, 当时,,其顶点为(-1,0)满足条件①,又⇒对∀x∈R,都有,满足条件②. ∴存在a,b,c∈R,使f(x)同时满足条件①、②.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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