Question

设函数f（x）=2^{sin（2x+ϕ）+1}（-π＜ϕ＜0），y=f（x）的图象的一条对称轴是直线
（1）求ϕ；
（2）求函数y=f（x）的递减区间；
（3）试说明y=f（x）的图象可由y=2^sin2x的图象作怎样变换得到．

Answer

（1）根据正弦曲线知，正弦函数在对称轴处的值是±1，再结合ϕ的范围求出ϕ的值；
（2）根据复合函数“同增异减”的法则和正弦函数的单调性，求出的单调区间，即为原函数的递减区间；
（3）根据三角函数图象的平移过程，先进行左右平移“左加右减”，要保证x的系数为1，再进行振幅变换．
【解析】
（1）由题意知，函数图象的一条对称轴是，
∴，即
解得，，则
∵，解得，
∴k=-1，即ϕ=-（5分）
（2）∵且y=2x是增函数，
∴函数y=f（x）的递减区间，即为的递减区间．
由解得：．
∴函数y=f（x）的递减区间为（10分）
（3）∵
∴将函数y=2sin2x的图象向右平移个单位，然后纵坐标扩大为2倍（横坐标不变）
得到函数y=f（x）的图象（14分）