Question

已知函数f（x）满足，对x≠0恒成立，在数列{a_n}，{b_n}中，a₁=1，b₁=1，对任意
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求{a_n}、{b_n}的通项公式；
（3）若对任意实数λ∈[0，1]，总存在自然数k，当n≥k时，恒成立，求k的最小值．

Answer

（1）由知，让与x互换可得，联立解求解．
（2）由，可变形为，∴是以1为首项、2为公差的等差数列求解．又bn+1-bn=2n-1再用累加法求解．
（3）对任意实数λ∈[0，1]时，恒成立，转化为恒成立、变形为（2n-1）λ+n2-2n+3≥0，λ∈[0，1]恒成立．再求g（λ）=（2n-1）λ+n2-4n+3的最小值即可．
【解析】
（1）由知，让与x互换可得，联立解得：f（x）=3x．
（2）由，可变形为，
∴是以1为首项、2为公差的等差数列．
又bn+1-bn=2n-1，
∴bn-bn-1=2（n-1）-1，b3-b2=2×2-1，b2-b1=2-1，
相加有bn+1-b1=n2
∴bn=（n-1）2+1=n2-2n+2．
（3）对任意实数λ∈[0，1]时，
恒成立，则恒成立、变形为（2n-1）λ+n2-2n+3≥0，λ∈[0，1]恒成立．
设g（λ）=（2n-1）λ+n2-4n+3，
∴n＞3或n≤1．n∈N+．