Question

已知：三定点，动圆M线AB相切于N，且|AN|-|BN|=，现分别过点A、B作动圆M的切线，两切线交于点P．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）直线3x-3my-2截动点P的轨迹所得弦长为2，求m的值；
（3）是否存在常数λ，使得∠PBC=λ∠PCB，若存在，求λ的值，若不存在，并请说明理由．

Answer

（1）根据题意可推断出：|PA|-|PB|=|AN|-|BN|，进而利用双曲线的定义推断出P的轨迹为双曲线的一部分，设出双曲线的方程利用题意可求得a和c，则b可求得，进而求得双曲线的方程．
（2）设出直线与P的轨迹交与Q1和Q2，利用双曲线的定义表示出Q1Q2，把直线与双曲线的方程联立，消去y，利用韦达定理表示出x1+x2，求得m．
（3）先通过x=时，求得BP，BC进而猜想出λ的值，进而看x≠时，设出P的坐标代入椭圆的方程，表示出tan∠PCB，利用正切的二倍角公式求得tan2∠PCB，进而tan∠PBC=-tan∠PBx判断出tan2∠PCB=tan∠PBC，进而可知存在λ=2，使题设成立．
【解析】
（1）由平几知识得：|PA|-|PB|=|AN|-|BN|=＞|AB|=
∴动点P的轨迹是A、B为焦点的双曲线（部分）
设它的方程为，则
解得：，故所求的方程为
（2）设直线3x-3my-2=0与动点P的轨迹相交于是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），
∵直线3x-3my-2=0恒过双曲线的焦点B
∴由双曲线定义知|Q1Q2|=
∴x1+x2=
若m=0，则x1=x2=，此时，即|Q1Q2|=2合题意若m≠0，由，消去y得：=1，
化简得：（27m2-9）x2+12x-3m2-4=0，x1+x2=
解得m=0与m≠0矛盾．
∴m=0
（3）当x=时，|BP|=1，|BC|=1，此时∠PCB=45°，∠PBC=90°
猜想λ=2
当x≠时，设P（x，y）则{y^2}=，且tan∠PCB=
∴tan2∠PCB=
而tan∠PBC=-tan∠PBx=
∴tan2∠PCB=tan∠PBC
又∵0＜∠PBC＜π，0＜2＜PBC＜π
∴2∠PCB=∠PBC即存在λ=2，使得：∠PBC=λ∠PCB