Question

在斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB₁C₁C⊥底面ABC．D为BC的中点，M为AA₁的中点．
（1）求证：AD∥平面MB₁C；
（2）求证：平面MB₁C⊥侧面BB₁C₁C．

Answer

（1）取B1C的中点为N，连接MN、DN，所以可得ND∥B1B，并且ND=B1B，结合题意得到：ND∥AM，并且ND=AM，所以四边形MNDA为平行四边形，所以AD∥NM，即可得线面平行．
（2）由题意可得：AD⊥BC．所以由面面垂直的性质定理可得：AD⊥侧面BB1C1C，由（1）可得AD∥NM，所以MN⊥侧面BB1C1C，进而得到面面垂直．
证明：（1）取B1C的中点为N，连接MN、DN，
又因为D为BC 的中点，
所以ND∥B1B，并且ND=B1B，
因为M为AA1的中点，
所以AM∥B1B，并且AM=B1B．
可得ND∥AM，并且ND=AM，
所以四边形MNDA为平行四边形，
所以AD∥NM，
所以AD∥平面MB1C．
（2）因为AB=AC，并且D为BC的中点，
所以AD⊥BC．
又因为侧面BB1C1C⊥底面ABC，侧面BB1C1C∩底面ABC=BC，AD⊂平面ABC，
所以AD⊥侧面BB1C1C，
由（1）可得AD∥NM，
所以MN⊥侧面BB1C1C，
又因为MN⊂平面MB1C，
所以平面MB1C⊥侧面BB1C1C．