Question

已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（Ⅰ）若M为CB中点，证明：MA∥平面CNB₁；
（Ⅱ）求这个几何体的体积．

Answer

（I）取CB1的中点P，连MP，由已知中M为CB中点，根据矩形及梯形的性质，我们易得MP∥AN且MP=AN，即四边形ANPM为平行四边形，进而根据平行四边形的性质，得到AM∥NP，再由线面垂直的判定定理，得到答案．
（II）这个几何体的体积由四棱锥N-CBB1C1和三棱锥C-ABN组成，由已知中的三视图的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则B点处必有BA，BC，BB1两两垂直，取B1B的中点Q，连QN，分别计算出四棱锥N-CBB1C1和三棱锥C-ABN的体积，即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）证明：取CB1的中点P，连MP，∵已知M为CB中点，∴MP∥BB1且MP=BB1
由三视图可知，四边形ABB1N为直角梯形，∴AN∥BB1且AN=BB1（2分）
∴MP∥AN且MP=AN，∴四边形ANPM为平行四边形，∴AM∥NP，（4分）
又AM⊄平面CNB1，PN⊂平面CNB1，∴AM∥平面CNB1（6分）
（Ⅱ）∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BA，BC，BB1两两垂直．
∴BC⊥BA，BC⊥B1B且BB1与BA相交于B，
∴BC⊥平面AB1BN，BC为三棱锥C-ABN的高（8分）
取B1B的中点Q，连QN，∵四边形ABB1N为直角梯形且AN=BB1=4，
四边形ABQN为正方形，NQ⊥BB1，又BC⊥平面ABB1N，∵QN⊂平面ABB1N∴BC⊥NQ，且BC与BB1相交于B，∴NQ⊥平面C1B1BC，NQ为四棱锥N-CBB1C1的高（10分）
∴几何体ABC-NB1C1的体积
=×4××4×4+×4×4×8=（12分）