Question

设椭圆C：（a＞b＞0）过点，且离心率．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点A（2，0）的动直线AB交椭圆于点M、N，（其中点N位于点A、B之间），且交直线l：x=8于点B（如图）．证明：．

Answer

（Ⅰ）由已知，得，故可设所求椭圆方程为，将点的坐标代入上式，得m=1．由此得到所求椭圆C的方程．
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），要证原等式成立，只要证⇔⇔5（x1+x2）-x1x2=16．
【解析】
（Ⅰ） 由已知，得 ，故可设所求椭圆方程为，
将点的坐标代入上式，得 m=1．
∴所求椭圆C的方程为：；（5分）
（Ⅱ） 设M（x1，y1），N（x2，y2），
要证原等式成立，只要证⇔⇔5（x1+x2）-x1x2=16．①（8分）
以下证明①式成立．
证明：设MB：y=k（x-2），由⇒（9+16k2）x2-64k2x+64k2-144=0
由韦达定理，得 ，，（11分）
∴=
于是，①式得证．
∴．（13分）