Question

已知命题p：对一切x∈[0，1]，k•4^x-k•2^x+1+6（k-5）≠0，若命题p是假命题，则实数k的取值范围是    ．

Answer

非p：对一切x∈[0，1]，k•4x-k•2x+1+6（k-5）═0在x∈[0，1]有解是真命题，构造函数f（x）=k•4x-k•2x+1+6（k-5），问题转化为函数在区间[0，1]有零点，故可用零点存在性定理得到k的不等式，求出k的取值范围．
【解析】
由已知，命题非p：对一切x∈[0，1]，k•4x-k•2x+1+6（k-5）═0在x∈[0，1]有解是真命题，
构造函数f（x）=k•4x-k•2x+1+6（k-5），则f（x）=k•4x-k•2x+1+6（k-5），在区间[0，1]有零点
∴f（0）×f（1）≤0，即5（k-6）×6（k-5）≤0，
∴5≤k≤6，即实数k的取值范围是[5，6]
故应填[5，6]