Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足S_n+1+S_n-1=2S_n+1，其中（n≥2，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

Answer

（1）本题由条件Sn+1+Sn-1=2Sn+1，借助项与和关系Sn-Sn-1=an，可确定数列为等差数列，进而求出数列{an}的通项公式an=n+1．
（2）由an通项写出bn的通项，欲证明数列为递增数列，可借助作差法证明bn+1-bn＞0即可，进行整理变形即转化为对（-1）n-1λ＜2n-1（n∈N*）恒成立的证明．借此讨论N的奇数偶数两种情况就可求出λ的范围，再综合λ为非零的整数即可确定λ的具体取值．
【解析】
（1）由已知，（Sn+1-Sn）-（Sn-Sn-1）=1（n≥2，n∈N*），
即an+1-an=1（n≥2，n∈N*），且a2-a1=1．
∴数列{an}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列．
∴an=n+1．
（2）∵an=n+1，
∴bn=4n+（-1）n-1λ•2n+1，要使bn+1＞bn恒成立，
∴bn+1-bn=4n+1-4n+（-1）nλ•2n+2-（-1）n-1λ•2n+1＞0恒成立，
∴3•4n-3λ•（-1）n-12n+1＞0恒成立，
∴（-1）n-1λ＜2n-1恒成立．
（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2n-1恒成立，
当且仅当n=1时，2n-1有最小值为1，
∴λ＜1．
（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞-2n-1恒成立，
当且仅当n=2时，-2n-1有最大值-2，
∴λ＞-2．
即-2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=-1．
综上所述，存在λ=-1，使得对任意n∈N*，都有bn+1＞bn．