Question

如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：
（1）BE•DE+AC•CE=CE²；
（2）∠EDF=∠CDB；
（3）E，F，C，B四点共圆．

Answer

（1）连接CD后，根据圆周角定理及∠BEC为△ABE与△CDE的共公角，我们易得△ABE∽△CDE，根据相似三角形性质，结合比例的性质，易得答案．
（2）由（1）中△ABE∽△CDE，进而得到∠EDC=∠FDB，根据等角的补角相等，我们易得∠EDF=∠CDB．
（3）AB是⊙O的直径所对的圆周角为直角，易得△ECB为直角三角形，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，我们易得
E，F，C，B到点D的距离相等，即E，F，C，B四点共圆．
【解析】
（1）连接CD，如下图所示：

由圆周角定理，我们可得∠C=∠B
又由∠BEC为△ABE与△CDE的共公角，
∴△ABE∽△CDE，
∴BE：CE=AE：DE，
∴BE•DE=CE•AE
∴BE•DE+AC•CE=CE2（3分）
（2）∵△ABE∽△CDE，
∴∠EDC=∠FDB，
∴∠EDF=∠CDB，（6分）
（3）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ECB=90°，
∴
同理，，
所以，E，F，C，B到点D的距离相等，
∴E，F，C，B四点共圆．（10分）