Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n-1+（n=2，3，4，…）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）证明当n=2，3，4，…时，＜a_n≤．

Answer

（1）将a1=1代入已知递推关系式即可得a2，再将a2代入即可得a3，
（2）利用不等式的性质和累加法的思想，分别将的通项公式放大和缩小即可
【解析】
（1）∵a1=1
∴a2=a1+=1+1=2，a3==2+=
（2）当k=2，3，4，5…时，==+2＞+2
∴
∴=＞2（n-1）
∴＞+2（n-1）=2n-1
∴     ①
又∵，a1=1，ak=ak-1+（k=2，3，4，…），∴ak-1＞0，∴ak＞ak-1≥a1=1
∴==2（n-1）+≤2（n-1）+（n-1）×1=3n-3
∴≤3n-3+=3n-2
∴an≤．   ②
由①②得：n=2，3，4，…时，＜an≤．