Question

已知m，n∈R，且m+2n=2，则m•2^m+n•2²ⁿ⁺¹的最小值为    ．

Answer

先根据等式将n消去，构造函数f（m）=m•2m+n•22n+1=m•2m+（2-m）•22-m，然后讨论m，研究函数的单调性求出最小值即可．
【解析】
∵2n=2-m
∴f（m）=m•2m+n•22n+1=m•2m+（2-m）•22-m
令g（m）=m•2m，h（m）=（2-m）•22-m
当m≤0时，h（m）为增函数，且h（m）≥h（0）=8
g（m）=-|m|•2-|m|由于从y=x与y=2x的图象易知，|m|≤2|m|，所以|m|•2-|m|≤1，
g（m）=-|m|•2-|m|≥-1
f（m）=g（m）+h（m）≥-1+8=7
当m≥2时，由g（m）与h（m）关于x=1对称，同上可得f（m）≥7
当 0＜m＜2时，g（0）=h（2）=0，g（2）=h（0）=8
g'（m）=（mln2+1）2m＞0，h'（m）=-[（2-m）ln2+1]22-m＜0 且g'（m），h'（m）均为单调递增
当0＜m＜1时，g'（m）＜g'（1）=2（ln2+1），h'（m）＜h（1）=-2（2ln2+1），
f′（m）=g'（m）+h'（m）＜0单调递减
当1≤m＜2时，同理，可得f′（m）=g'（m）+h'（m）≥g'（1）+h'（1）=0单调递增（当m=1时等号成立）
所以当m=1时，f（m）取最小值，
即当m=1，n=时，m•2m+n•22n+1的最小值为4
故答案为：4