Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，E为AB的中点，F是C₁C上一点，且CF=2a．
（1）求证：C₁E∥平面ADF；
（2）试在BB₁上找一点G，使得CG⊥平面ADF；
（3）求三棱锥D-AB₁F的体积．

Answer

（1）连接CE交AD于O，连接FO，由=可证FO∥EC1，根据线面平行的判定定理可证
（2）在平面C1CBB1内，过C作CG⊥DF，交BB1于G，由AD⊥BC，CC1⊥AD可证AD⊥平面C1CBB1
进而可证AD⊥CG，CG⊥DF，从而可证
（3）由题意可得==•AD，可求
证明：（1）∵AB=AC，D为BC的中点
∵E为AB的中点，连接CE交AD于O，连接FO，
∴=
∴FO∥EC1（2分）
∵FO⊆平面AFD，C1E⊄平面AFD（4分）
∴C1E∥平面AFD（5分）
（2）在平面C1CBB1内，过C作CG⊥DF，交BB1于G
在△RtFCD 和△RtCBG中FC=CB，∠CFD=∠BCG
∴Rt△FCD≌Rt△CBG（6分）
而AD⊥BC，CC1⊥AD且CC1∩BC=C
∴AD⊥平面C1CBB1（8分）
∵CG⊆平面C1CBB1
∴AD⊥CG，
∵CG⊥DF，AD∩FD=D
∴CG⊥平面ADF
此时BG=CD=a（10分）
（3）AD⊥BCC1B1
∴==•AD（12分）
=
=（14分）