如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴...

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交于椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．
（1）求证：A，C，T三点共线；
（2）如果 manfen5.com 满分网

，四边形APCB的面积最大值为 manfen5.com 满分网

，求此时椭圆的方程和P点坐标．

（1）设椭圆方程为，求出直线AT，BF的交点，验证交点在椭圆上，从而可知A，C，T三点共线；（2）过C作CE⊥x轴，垂足为E，△OBF∽△ECF，求得C的坐标，代入椭圆方程可得a2=2c2，b2=c2 设P（x，y），可求，，又可求=，要求四边形APCB的面积最大值，只要求x+2y的最大值，从而可求椭圆方程，P的坐标．（1）证明：设椭圆方程为① ∴ ∴②；③ 解得交点C，，代入①得满足①式，∴C在椭圆上，A，C，T三点共线；（2）【解析】过C作CE⊥x轴，垂足为E，△OBF∽△ECF ∵=3， ∴CE= ∴ 代入①得 ∴a2=2c2，b2=c2 设P（x，y），∴ ∵ ∴，直线AC的方程为：x+2y-2c=0 P到直线AC的距离为= = 要求四边形APCB的面积最大值，只要求x+2y的最大值 ∵ ∴ 当且仅当时，x+2y的最大值为 ∴四边形APCB的面积最大值为 ∴c2=1，a2=2，b2=1 ∴椭圆方程为，P的坐标为．

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考点分析：

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一条船在如图所示的Y型河流中行驶，从A逆流行驶到B，再从B顺流行驶到C，AB间航程和BC间航程相等，水流的速度为3km/h，已知该船每小时的耗油量与船在静水中的速度（单位：km/h）的平方成正比．
（1）当船在AB段、BC段静水中的速度分别是多少时，整个航行的总耗油量最小？
（2）如果在整个航行过程中，船在静水中的速度保持不变，当船在静水中的速度是多少时，整个航行的总耗油量最小？