Question

已知数列{a_n}满足a₁=a（a＞2），a_n+1=，n∈N^*．
（1）求证：a_n+1＜a_n；
（2）若a=，且数列{b_n}满足a_n=b_n+，b_n＞1，求证：数列{lgb_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项式；
（3）若a=2011，求证：当n≥12时，2＜a_n＜2+恒成立．（参考数据2¹⁰=1024）

Answer

（1）由=（n≥2），知an+1-an，an-an-1，an-1-an-2，…，a2-a1同号，由a2-a-2=（a-2）（a+1）＞0，知a2＞a+2，由此能够证明an+1＜an．
（2）由==，知=，，由此能够证明数列{lgbn}是等比数列，并能求出数列{an}的通项式．
（3）由当n≥2时，=，知an-2与an-1-2同号，对一切n≥2成立，故an-2，an-1-2，…，a2-2，a1-2同号，由此能够证明当n≥12时，2＜an＜2+恒成立．
【解析】
（1）
=（n≥2），
上式表明an+1-an与an-an-1同号，
∴an+1-an，an-an-1，an-1-an-2，…，a2-a1同号，
∵a＞2，
∴a2-a-2=（a-2）（a+1）＞0，
∴a2＞a+2，
∴，a2-a1＜0．
∴an+1-an＜0，
故an+1＜an．
（2）∵
=
=，
=，
，
注意到bn＞1，
（x＞0），，
∴f（x）在x＞1时为增函数，而f（）=f（bn），
∴，
∴2lgbn+1=lgbn，
∴，
∴数列{lgbn}是等比数列，
当=，，，
=，
∴，
=．
（3）∵当n≥2时，=，
上式表明：an-2与an-1-2同号，对一切n≥2成立，
∴an-2，an-1-2，…，a2-2，a1-2同号，
而a1-2＞0，
∴an-2＞0，an-1-2＞0，
∵n≥2时，=，
∴，
∴…
=＜，
∴0＜，
当a1=2011，n=12时，
=＜=，
∴，
∵an＞an+1，
∴当n≥12时，2＜an＜2+恒成立．