Question

已知m＞1，直线l：x-my-=0，椭圆C：+y²=1，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点．
（Ⅰ）当直线l过右焦点F₂时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

Answer

（1）把F2代入直线方程求得m，则直线的方程可得．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线与椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0求得m的范围，且根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，根据，=2，可知G（，），h（，），表示出|GH|2，设M是GH的中点，则可表示出M的坐标，进而根据2|MO|＜|GH|整理可得x1x2+y1y2＜0把x1x2和y1y2的表达式代入求得m的范围，最后综合可得答案．
【解析】
（Ⅰ）【解析】
因为直线l：x-my-=0，经过F2（，0），
所以=，得m2=2，
又因为m＞1，所以m=，
故直线l的方程为x-y-1=0．
（Ⅱ）【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由，消去x得
2y2+my+-1=0
则由△=m2-8（-1）=-m2+8＞0，知m2＜8，
且有y1+y2=-，y1y2=-．
由于F1（-c，0），F2（c，0），故O为F1F2的中点，
由，=2，可知G（，），H（，）
|GH|2=+
设M是GH的中点，则M（，），
由题意可知2|MO|＜|GH|
即4[（）2+（）2]＜+即x1x2+y1y2＜0
而x1x2+y1y2=（my1+）（my2+）+y1y2=（m2+1）（）
所以（）＜0，即m2＜4
又因为m＞1且△＞0
所以1＜m＜2．
所以m的取值范围是（1，2）．