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如图,在四棱锥E-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BE=BC,AE⊥BE...

如图,在四棱锥E-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BE=BC,AE⊥BE,M为CE上一点,且BM⊥平面ACE.
(1)求证:AE⊥BC;
(2)如果点N为线段AB的中点,求证:MN∥平面ADE.

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(1)根据BM⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,根据线面垂直的性质可知BM⊥AE,而AE⊥BE,且BE∩BM=B,BE、BM⊂平面EBC,根据线面垂直的判定定理可知AE⊥平面EBC,根据BC⊂平面EBC,则AE⊥BC. (2)取DE中点H,连接MH、AH,根据BM⊥平面ACE,EC⊂平面ACE,可知BM⊥EC,因为BE=BC,则M为CE的中点.根据中位线可知MH∥,且MH=,因为四边形ABCD为平行四边形,所以DC∥AB,且DC=AB,则MH∥,且MH=,而N为AB中点,则MH∥AN,且MH=AN,从而四边形ANMH为平行四边形,则MN∥AH,因为MN⊄平面ADE,AH⊂平面ADE,根据线面平行的判定定理可知MN∥平面ADE. 证明:(1)因为BM⊥平面ACE,AE⊂平面ACE, 所以BM⊥AE.(2分) 因为AE⊥BE,且BE∩BM=B,BE、BM⊂平面EBC, 所以AE⊥平面EBC.(4分) 因为BC⊂平面EBC, 所以AE⊥BC.(6分) (2)取DE中点H,连接MH、AH. 因为BM⊥平面ACE,EC⊂平面ACE, 所以BM⊥EC. 因为BE=BC, 所以M为CE的中点.(8分) 所以MH为△EDC的中位线. 所以MH∥,且MH=.(10分) 因为四边形ABCD为平行四边形,所以DC∥AB,且DC=AB. 故MH∥,且MH=. 因为N为AB中点, 所以MH∥AN,且MH=AN. 所以四边形ANMH为平行四边形, 所以MN∥AH.(12分) 因为MN⊄平面ADE,AH⊂平面ADE, 所以MN∥平面ADE.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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