Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF交BD于H．
（1）求二面角B₁-EF-B的正切值；
（2）试在棱B₁B上找一点M，使D₁M⊥平面EFB₁，并证明你的结论；
（3）求点D₁到平面EFB₁的距离．

Answer

（1）连AC、B1H，根据二面角平面角的定义可知∠B1HB为二面角B1-EF-B的平面角，在Rt△B1HB中求出此角的正切值即可；
（2）在棱B1B上取中点M，连D1M、C1M，欲证D1M⊥平面EFB1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证D1M与平面EFB1内两相交直线垂直，而EF⊥D1M，B1F⊥D1M，满足定理条件；
（3）设D1M与平面EFB1交于点N，则D1N为点D1到平面EFB1的距离，在Rt△MB1D1中利用射影定理求出D1N即可．
【解析】
（1）连AC、B1H，则EF∥AC，
∵AC⊥BD，所以BD⊥EF．
∵B1B⊥平面ABCD，所以B1H⊥EF，
∴∠B1HB为二面角B1-EF-B的平面角．（2分）
在
∴
故二面角B1-EF-B的正切值为（4分）

（2）在棱B1B上取中点M，连D1M、C1M．
∵EF⊥平面B1BDD1，
所以EF⊥D1M．（6分）
在正方形BB1C1C中，因为M、F分别为BB1、BC的中点，
∴B1F⊥C1M（8分）
又因为D1C1⊥平面BCC1B1，所以B1F⊥D1C1，
所以B1F⊥D1M，
∴D1M⊥平面EFB1（10分）

（3）设D1M与平面EFB1交于点N，则D1N为点D1到平面EFB1的距离．（11分）
在Rt△MB1D1中，D1B12=D1N•D1M（12分）
∵，
所以，
故点D1到平面EFB1的距离为（14分）