Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=m，PA=PC=m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是    ．

Answer

根据题意，该球的最大半径是四棱锥P-ABCD的内切球半径．因此设内切球的半径为r，算出四棱锥P-ABCD的表面积，从而得到四棱锥P-ABCD的体积V=（2+）m2r，再根据PD是四棱锥的高且底面ABCD是正方形，得到V=m3，由此即可解出内切球的半径r值，从而得到该球的最大半径．
【解析】
根据题意，球的最大半径是四棱锥P-ABCD的内切球半径，设这个半径为r
∵PD⊥底面ABCD，且PD=m，底面ABCD是边长为m的正方形，
∴△PAD和△PCD都是直角边长为m的等腰直角三角形，
可得S△PAD=S△PCD=m2
∵Rt△PAB中，PA=m，AB=m，
∴S△PAB=PA•AB=m2，同理可得S△PCD=m2
又∵SABCD=m2，∴四棱锥P-ABCD的表面积为S表=S△PAD+S△PCD+S△PAB+S△PCD+SABCD=（2+）m2
因此，四棱锥P-ABCD的体积V=×S表×r=（2+）m2r
∵PD⊥底面ABCD，且PD=m，底面ABCD是边长为m的正方形，
∴四棱锥P-ABCD的体积V=×SABCD×PD=m3，
由此可得（2+）m2r=m3，解之得r=m=
因此，在四棱锥P-ABCD内放一个球，该球的最大半径是
故答案为：