已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点．（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，...

已知直线y=-x+1与椭圆 manfen5.com 满分网

相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为 manfen5.com 满分网

，焦距为2，求线段AB的长；
（2）若向量 manfen5.com 满分网

与向量f（s）≥ϕ（t）互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率 manfen5.com 满分网

时，求椭圆的长轴长的最大值．

（1）由椭圆的离心率为，焦距为2，求出椭圆的方程为．联立，消去y得：5x2-6x-3=0，再由弦长公式能求求出|AB|．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，知x1x2+y1y2=0，由，消去y得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0，再由根的判断式得到a2+b2＞1，利用韦达定理，得到a2+b2-2a2b2=0．由此能够推导出长轴长的最大值．【解析】（1）∵，2c=2， ∴a=，b=， ∴椭圆的方程为．…（2分）联立，消去y得：5x2-6x-3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，， ∴|AB|= =• =．…（5分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵，∴，即x1x2+y1y2=0，由，消去y得（a2+b2）x2-2a2x+a2（1-b2）=0，由△=（-2a2）2-4a2（a2+b2）（1-b2）＞0，整理得a2+b2＞1…（7分） ∵，， ∴y1y2=（-x1+1）（-x2+1）=x1x2-（x1+x2）+1， ∴x1x2+y1y2=0，得：2x1x2-（x1+x2）+1=0， ∴，整理得：a2+b2-2a2b2=0．…（9分） ∴b2=a2-c2=a2-a2e2，代入上式得 2a2=1+，∴，…（10分） ∵， ∴，∴， ∴，∴， ∴适合条件a2+b2＞1．由此得，∴，故长轴长的最大值为．…（12分）

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考点分析：

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设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））
处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g（x）=-f（x）e^-x的单调区间．

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如图所示，等腰△ABC的底边 manfen5.com 满分网

，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AC，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积．
（1）求V（x）的表达式；
（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？
（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值．