Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AC=2AB=4，AA₁=4，M为CC₁的中点．
（I）求证：BM⊥平面A₁B₁M；
（II）求平面A₁BM与平面ABC所成锐二面角的大小；
（III）求点C到平面A₁BM的距离．

Answer

（I）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以平面A1B1C1⊥平面B1BCC1，由A1B1⊥B1C，知A1B1⊥平面B1BCC1，所以BM⊥A1B1，由此能够证明BM⊥平面A1B1M．
（II）设A1M∩AC=E，连接BE，作CF⊥BE，垂足为F，连接MF，则BE⊥MF．于是∠MFC为所求二面角的平面角．由此能求出平面A1BM与平面ABC所成锐二面角的大小．
（III）作CH⊥FM，垂足为H，由BF⊥平面CFM，知平面A1BM⊥平面CFM，所以CH⊥平面A1BM，由此能求出点C到平面A1BM的距离．
【解析】
（I）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，
所以平面A1B1C1⊥平面B1BCC1，
∵A1B1⊥B1C，∴A1B1⊥平面B1BCC1，∴BM⊥A1B1，
∵AC=2AB=4，∠ABC=90°∴角BAC=60°，∴BC=2，
由已知，CM=C1M=2，∴∠BMC=∠B1MC1=45°，∠BMB1=90°，
即BM⊥B1M，又A1B1∩B1M=B1，
∴BM⊥平面A1B1M，…（4分）
（II）设A1M∩AC=E，连接BE，作CF⊥BE，垂足为F，连接MF，则BE⊥MF．
于是∠MFC为所求二面角的平面角．  …（5分）
由M是CC1中点，知CE=AC=4，在△BCE中，∠BCE=150°，
BE==2．
∵•CF=BC•CE•sin150°，
∴，
∴，
tan=，…（6分）
所以平面A1BM与平面ABC所成锐二面角的大小为．…（8分）
（III）作CH⊥FM，垂足为H，
由（II）的解答，知BF⊥平面CFM，
则平面A1BM⊥平面CFM，所以CH⊥平面A1BM，CH即所求
∵tan∠MFC=，
∴，
∴为所求．
即点C到平面A1BM的距离是．…（12分）