Question

已知{a_n}是等比数列，a₁=2，a₃=18；{b_n}是等差数列，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃＞20．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和S_n的公式；
（3）设P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n-2，Q_n=b₁₀+b₁₂+b₁₄+…+b_2n+8，其中n=1，2，…，试比较P_n与Q_n的大小，并证明你的结论．

Answer

（1）将已知转化成基本量，先有{an}的条件求出公比q2=，要注意讨论q的值的情况，再由等差数列{bn}满足b1+b2+b3+b4=26进而求出d，得到bn；
（2）利用等差数列的前n项和公式可得结果；
（3）由已知可得b1，b4，b7，，b3n-2组成以b1=2为首项，3d为公差的等差数列，而b10，b12，b14，，b2n+8组成以b10=29为首项，2d为公差的等差数列，求出Pn和Qn后，作差比较，得到关于n的函数关系式，讨论n的情况可得结果．
【解析】
（1）设{an}的公比为q，由a3=a1q2得q2==9，q=±3．
当q=-3时，a1+a2+a3=2-6+18=14＜20，
这与a1+a2+a3＞20矛盾，故舍去．
当q=3时，a1+a2+a3=2+6+18=26＞20，故符合题意．
设数列{bn}的公差为d，由b1+b2+b3+b4=26得4b1+d=26．
又b1=2，解得d=3，所以bn=3n-1．
（2）Sn==n2+n．
（3）b1，b4，b7，，b3n-2组成以3d为公差的等差数列，
所以Pn=nb1+•3d=n2-n；
b10，b12，b14，，b2n+8组成以2d为公差的等差数列，b10=29，
所以Qn=nb10+•2d=3n2+26n．
Pn-Qn=（n2-n）-（3n2+26n）=n（n-19）．
所以，对于正整数n，当n≥20时，Pn＞Qn；
当n=19时，Pn=Qn；
当n≤18时，Pn＜Qn．