Question

（理）已知函数f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（I）求b．
（II）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围．
（III）讨论函数h（x）=ln（1+x²）-f（x）-k的零点个数？

Answer

（I）根据对任意x∈R，有f（-x）=f（x）建立等式关系，即可求出b的值；
（II）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求导函数，，则或在（0，1）上恒成立，然后将a分离出来，研究不等式另一侧的最值即可求出a的范围；
3）令，研究该函数的单调性和极值，结合图形可判断函数的零点个数．
【解析】
（I）∵f（-x）=f（x）
∴（-x）2+bsin（-x）-2=x2+bsinx-2
∴b=0． 
（II）∵g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x2+2x+alnx
∴
依题意，或在（0，1）上恒成立
即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在（0，1）上恒成立
由在（0，1）上恒成立，可知a≥0．
由在（0，1）上恒成立，可知a≤-4，
所以a≥0或a≤-4
（III），
令．
所以
令y'=0，则x1=-1，x2=0，x3=1，列表如下：

x （-∞，-1） -1 （-1，0） （0，1） 1 （1，+∞）
y′ + - + -
h（x） 单调递增 极大值
单调递减 极小值1 单调递增 极大值
单调递减

所以当时，函数无零点；
当k＜1或时，函数有两个零点；
当k=1时，函数有三个零点．
当时，函数有四个零点．