Question

（文）已知函数f（x）=x³+ax²-ax-1（a＞0），设f′（x）的最小值为-
（I）求a的值；
（II）求f（x）在[-1，m]上的最大值g（m）．

Answer

（I）f′（x）=3x2+2ax-a=3（）2-，当时，f′（x）取最小值=，由此能求出a．
（II）f（x）=x3+x2-x-1=（x+1）2（x-1），f′（x）=3x2+2x-1=（3x-1）（x+1），列表讨论能求出f（x）在[-1，m]上的最大值g（m）．
【解析】
（I）∵f（x）=x3+ax2-ax-1（a＞0），
∴f′（x）=3x2+2ax-a=3（）2-，
∵f′（x）的最小值为-，
∴当时，f′（x）取最小值=，
解得a=1或a=-4（舍）
故a的值为1．…（4分）
（II）f（x）=x3+x2-x-1=（x+1）2（x-1），
f′（x）=3x2+2x-1=（3x-1）（x+1），…（6分）
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化如下表：

x （-∞，-1） 1 （-1，） （，+∞）
f′（x） + - +
f（x） ↑ 极大值0
↓ 极小值

↑

当-1＜m＜1时，g（m）=f（-1）=0；
当m≥1时，g（m）=f（m）=m3+m2-m-1，
∴g（m）=．…（12分）