Question

已知△ABC的面积S满足，且•=6，与的夹角为α．
（1）求α的取值范围；
（2）若函数f（α）=sin²α+2sinαcosα+3cos²α，求f（α）的最小值，并指出取得最小值时的α．

Answer

（1）利用两个向量的数量积的定义及三角形的面积公式，求出tanα的范围，从而求出α的取值范围．
（2）由二倍角的三角函数公式及同角三角函数的基本关系，把f（α）化为2+sin（2α+），由α的范围得到2α+的范围，进而得到2+sin（2α+）的最小值．
【解析】
（1）由题意知 •=6=||•||cosα  ①，
S=||•||sin（π-α）=||•||sinα  ②，
由②÷①得 =tanα，即3tanα=S，由3≤S≤3，得3≤3tanα≤3，即 1≤tanα≤，
又α为与的夹角，∴α∈〔0，π〕∴α∈[，]．
（2）f（α）=sin2α+2sinαcos+3cos2α=1+sin2α+2cos2α
∴f（α）=2+sin2α+cos2α=2+sin（2α+），
∵α∈〔，〕，∴2α+∈〔，〕，
∴当 2α+=，即α=时，f（α）min=．