Question

如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁与它的侧视图（或称左视图），E是DD₁上一点，AE⊥B₁C．
（1）求证AE⊥平面B₁CD；
（2）求三棱锥E-ACD的体积．

Answer

（1）要证AE⊥平面B1CD，由ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，可知CD⊥ADD1A1，则CD⊥AE，结合AE⊥B1C，即可证
（2）由AE⊥平面B1CD，可得AE⊥B1C，进而可得AE⊥A1D，则可得△ADE∽△A1AD，有，从而可求DE，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，DE是三棱锥E-ACD的高，代入三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=可求
证明：（1）因为ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，所以CD⊥平面ADD1A1…（2分）
AE⊂平面ADD1A1，所以CD⊥AE…（3分）
因为AE⊥B1C，CD∩B1C=C，所以AE⊥平面B1CD…（5分）
【解析】
（2）连接A1D，因为AE⊥B1CD，所以AE⊥B1C…（6分），
因为A1D∥B1C
所以AE⊥A1D…（7分）
所以△ADE∽△A1AD…（8分），所以…（9分）
因为AD=2，AA1=4
所以，=（10分）
因为ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，所以DE是三棱锥E-ACD的高…（11分），
所以三棱锥E-ACD的体积VE-ACD==××1=…（13分）．