Question

已知圆P：x²+y²-2y-3=0，抛物线C以圆心P为焦点，以坐标原点为顶点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设圆P与抛物线C在第一象限的交点为A，过A作抛物线C的切线与y轴的交点为Q，动点M到P、Q两点距离之和等于6，求M的轨迹方程．

Answer

（1）根据圆x2+y2-2y-3=0的标准方程：x2+（y-1）2=4，可得圆的圆心P（0，1），根据抛物线C以圆心P为焦点，利用待定系数法可求抛物线的方程；
（2）联立方程，组成方程组，根据圆P与抛物线C在第一象限的交点为A，可得A的坐标，进而可求切线方程，即可求Q的坐标，利用动点M到P、Q两点距离之和等于6，可知M的轨迹是焦点在y轴的椭圆，利用待定系数法可求椭圆方程．
【解析】
（1）圆x2+y2-2y-3=0化为标准方程：x2+（y-1）2=4
∴圆的圆心P（0，1）…（1分），
设抛物线C：x2=2py…（2分），
∵抛物线C以圆心P为焦点，
∴…（3分），
∴p=2
∴所求抛物线的方程为x2=4y…（4分）．
（2）由方程组可得y=1…（5分），
依题意，圆P与抛物线C在第一象限的交点为A，∴A（2，1）…（6分），
抛物线C即函数的图象，当x=2时，切线的斜率…（8分），
∴切线为y-1=1×（x-2），即x-y-1=0…（9分），
∴x=0时，y=-1，所以Q（0，-1）…（10分）．
∵动点M到P、Q两点距离之和等于6
∴M的轨迹是焦点在y轴的椭圆，
设它的方程为…（12分），
则2a=|MP|+|MQ|=6，2c=|PQ|=2…（13分），
∴a=3，b2=a2-c2=8，
∴M的轨迹方程为…（14分）．