Question

设数列{a_n}的前n（n∈N^*）项和为S_n，a₁=1，a₂=2，当n＞2时，S_n=a_n+1．
（1）求a_n；（2）求数列{（S_n-34）a_n}（n∈N^*）最小的项．

Answer

（1）依题意，n＞3时，Sn=an+1，Sn-1=an-1+1，两式相减得：Sn-Sn-1=an-an-1从而得出数列an的递推式，再利用累乘的方法即可求出数列的通项公式；
（2）依题意先得出（Sn-34）an=2n3-4n2-64n+66，作函数f（x）=2x3-4x2-64x+66，x＞2，利用导数研究其单调性得到f（x）在x=4取得最小值，从而得出数列{（Sn-34）an}（n∈N+）最小的项．
【解析】
（1）依题意，n＞3时，
Sn=an+1，Sn-1=an-1+1，
两式相减得：
Sn-Sn-1=an-an-1…（1分），
∴an=an-an-1⇒…（2分）
所以=×an-2=××…×a3=（3分）
n=3时，S3=a3+1，a1+a2+a3=a3+1，
解得a3=4…（4分）
所以n＞3时，an=2（n-1）…（5分），
而且2（3-1）=4=a3，2（2-1）=2=a2，2（1-1）=0≠a1…（6分），
所以an=…（7分）
（2）依题意，（S1-34）a1=-33，（S2-34）a2=-62
n＞2时，（Sn-34）an=2n3-4n2-64n+66…（8分），
作函数f（x）=2x3-4x2-64x+66，x＞2…（9分）
f′（x）=6x2-8x-64=2（3x+8）（x-4）…（10分），
解得x=4…（11分）
当2＜x＜4时，f′（x）＜0；当x＞4时，f′（x）＞0…（12分）．
所以，f（x）在x=4取得最小值f（4）=-126…（13分），
因为f（4）＜-33且f（4）＜-62，
所以，数列{（Sn-34）an}（n∈N+）最小的项是（S4-34）a4=-126…（14分）．