Question

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆上，已知AB∥EF，AB=BC=4，AE=EF=BF=2，AD=2．
直角梯形ABCD所在平面与圆O所在平面互相垂直．
（Ⅰ）求证：平面CBE⊥平面DAE；
（Ⅱ）求平面CDF与平面ABCD所成角的余弦值．

Answer

（1）欲证平面CBE⊥平面DAE，根据面面垂直的判定定理可知在平面CBE内一直线与平面DAE垂直，
欲证BE⊥平面DAE，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BE与平面DAE内两相交直线垂直，
AD⊥BE，AE⊥BE，AE∩AD=A，满足定理条件；
（2）连接OE，OF，以O为原点，OB所在的直线为y轴，垂直于OB的直线分别为x轴、z轴建立坐标系，
求出平面ABCD的一个法向量为以及平面CDF的一个法向量为，
求出两法向量的余弦值即可得到平面CDF与平面ABCD所成角的余弦值．
【解析】
（1）连接BE，因为四边形ABCD是直角梯形，
所以AD⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABFE
所以AD⊥平面ABFE，所以AD⊥BE，
因为AB为O的直径，所以AE⊥BE，
又AE∩AD=A，所以BE⊥平面DAE，
又BE⊂平面CBE，所以平面CBE⊥平面DAE．
（2）如图，因为AE=EF=BF=2，连接OE，OF，
则△OEF是边长为2的等边三角形，以O为原点，
OB所在的直线为y轴，垂直于OB的直线分别为x轴、
z轴建立如如图所示的坐标系，则有
A（0，-2，0），B（0，2，0），C（0，2，4），
D（0，-2，2），F（，1，0），
易得平面ABCD的一个法向量为=（1，0，0），
设平面CDF的一个法向量为=（x，y，z），
因为=（0，-4，-2），=（，-1，-4），
则由可得，令y=1，
得=（-，1，-2），
所以cos＜，＞=．
结合图形，易知平面CDF与平面ABCD所成角的余弦值为．