Question

已知抛物线C的顶点为坐标原点，椭圆C′的对称轴是坐标轴，抛物线C在x轴上的焦点恰好是椭圆C′的焦点
（Ⅰ）若抛物线C和椭圆C′都经过点M（1，2），求抛物线C和椭圆C′的方程；
（Ⅱ）已知动直线l过点p（3，0），交抛物线C于A，B两点，直线l′：x=2被以AP为直径的圆截得的弦长为定值，求抛物线C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，分别过A，B的抛物线C的两条切线的交点E的轨迹为D，直线AB与轨迹D交于点F，求|EF|的最小值．

Answer

（I）通过待定系数法求抛物线的方程；再求出其焦点，求出椭圆的焦点；利用椭圆的定义求出椭圆方程．
（II）设出点A的坐标，求出以AP为直径的圆的半径，求出圆心到直线的距离；利用圆心到直线的距离、半径、弦长的一半构成直角三角形得到勾股定理，表示出弦长；据弦长是定值，令未知数的系数为0，求出抛物线方程．
（III）求出两条切线的方程及直线AB的方程，表示出EF的长度，求出值．
【解析】
（I）设抛物线C的方程为：y2=2px，
抛物线C经过点M（1，2）则22=2p×1
∴抛物线C的方程为：y2=4x其焦点为F2（1，0）
故可设椭圆C′的焦点为F1（1，0）和F2（1，0），
2a=|MF1|+|MF3|=2+2
∴b2=（+1）2-12=2+2
∴椭圆C′的方程为：=1（3分）
（II）设A（2pt2，2pt）则AP的中点Q（pt2+，pt），
以AP为直径的圆的半径为r
r2=（pt2-）2+（pt）2，
设Q（pt2+，pt）到直线l′：x=2的距离为d
则d=|pt2+-2|=|pt2-|
设直线l′：x=2被以AP为直径的圆截得的弦为MN，则：
=r2-d2=（pt2-）2+（pt）2-（pt2-）2=（p2-2p）t2+2
由于|MN|为定值，所以p2-2p=0所以p=2
∴抛物线C的方程为：y2=4x（8分）
（III）设A（x1，y1），B（x2，y2）
利用导数法或判别式法可求得AE，BE的方程分别为
AE：y1y=2（x1+x），BE：y2y=2（x2+x）若E（x，y）则
y1y=2（x1+x），y2y=2（x2+x）故AB：yy=2（x+x）
又因为AB过点P（3，0），所以y×0=2（x+3）所以x=-3
即E的轨迹为D的方程为x=-3，交AB：yy=2（x+x）于点F（-3，-）
|EF|=|y-（-）|=|y+|≥2；
当且仅当y=即y=±时取等号；
所以|EF|的最小值为4．（13分）