Question

设函数f（x）=x|x-a|，若对于任意的x₁，x₂∈[2，+∞），x₁≠x₂，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是    ．

Answer

首先由函数单调性定义，判断f（x）=x|x-a|在[2，+∞）上单调递增；然后把a分成a≤2与a＞2两种情况分别进行检验；最后得到只有a≤2时，才满足f（x）=x|x-a|在[2，+∞）上单调递增的结论．
【解析】
由题意知f（x）=x|x-a|在[2，+∞）上单调递增．
（1）当a≤2时，
若x∈[2，+∞），则f（x）=x（x-a）=x2-ax，其对称轴为x=，
此时＜2，所以f（x）在[2，+∞）上是递增的；
（2）当a＞2时，
①若x∈[a，+∞），则f（x）=x（x-a）=x2-ax，其对称轴为x=，所以f（x）在[a，+∞）上是递增的；
②若x∈[2，a），则f（x）=x（a-x）=-x2+ax，其对称轴为x=，所以f（x）在[，a）上是递减的，因此f（x）
在[2，a）上必有递减区间．
综上可知a≤2．
故答案为（-∞，2]．