Question

如图1，在平面内，ABCD是∠BAD=60°且AB=a的菱形，ADD''A₁和CDD'C₁都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D''与D'重合于点D₁．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D₁位于平面ABCD同侧，设BE=t（t＞0）（图2）．
（1）设二面角E-AC-D₁的大小为q，若，求t的取值范围；
（2）在线段D₁E上是否存在点P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，若存在，求出P分所成的比λ；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设菱形ABCD的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，设BE=t，分别求出平面D1AC的法向量与平面EAC的法向量，代入向量夹角公式，根据，构造不等式，解不等式即可得到答案．
（2）假设存在满足题意的点P，令=λ，则可以求出P点的坐标，再根据平面PA1C1∥平面EAC，我们可根据•=0，构造方程，解方程即可求出满足条件的λ的值．
【解析】
（1）设菱形ABCD的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系如图．设BE=t（t＞0）．

（1）A（，0，0），C（-，0，0），D1（0，，a），E（0，，t）
=（-，，a），=（，0，0）
设平面D1AC的法向量为，
则，
令z1=1得．
=（-，，t），设平面EAC的法向量为，
则，
令z2=-a得．
设二面角E-AC-D1的大小为θ，则cosθ==．
∵∴
∴≤||≤
解得
所以t的取值范围是．
（2）假设存在满足题意的点P，
令=λ
则P（0，，）
由平面PA1C1∥平面EAC，
得A1P∥平面EAC，
∴•=0
∴t•-=0，
化简：λ=（t≠a）
即线段D1E上存在点P，使平面PA1C1∥平面EAC，P分所成的比λ=（t≠a）；