Question

已知D是△ABC边BC延长线上一点，记=λ+（1-λ）．若关于x的方程2sin²x-（λ+1）sinx+1=0在[0，2π）上恰有两解，则实数λ的取值范围是    ．

Answer

根据题意，由D是BC延长线上一点，=（-λ），得到λ＜0；令sinx=t，方程2t2-（λ+1）t+1=0在（-1，1）上有唯一解，（2-（λ+1）+1）•（2+（λ+1）+1）＜0①，或△=（λ+1）2-8=0②，解出λ 范围．
【解析】
∵=λ+（1-λ）=+λ（- ）=+λ=+（-λ）．
又∵=+，∴=（-λ），由题意得-λ＞0，∴λ＜0．
∵关于x的方程2sin2x-（λ+1）sinx+1=0在[0，2π）上恰有两解，令sinx=t，由正弦函数的图象知，
方程 2t2-（λ+1）t+1=0 在（-1，1）上有唯一解，
∴[2-（λ+1）+1]•[2+（λ+1）+1]＜0  ①，或△=（λ+1）2-8=0  ②，
由①得 λ＜-4 或λ＞2（舍去）．  由②得  λ=-1-2，或 λ=-1+2（舍去）．
故答案为 λ＜-4或λ=-1-2．