Question

如图所示，在棱长为2的正方体中，E、F分别为DD₁、BD的中点．  
（1）求证：EF∥面ABC₁D₁
（2）求证EF∥BD₁．
（3）求三棱锥的体积．

Answer

（1）E、F分别为DD1、BD的中点，所以EF∥BD1且EF=BD1．又因为BD1⊂平面ABC1D1且EF⊈平面ABC1D1所以EF∥面ABC1D1
（2）E、F分别为DD1、BD的中点∴EF∥BD1
（3）B1C⊥EF且EF⊥FC所以EF⊥平面FCB1，所以EF=，因为FC=，FB1=所以．
证明：（1）∵E、F分别为DD1、BD的中点
∴EF∥BD1且EF=BD1
∵BD1⊂平面ABC1D1且EF⊈平面ABC1D1
∴EF∥面ABC1D1
（2））∵E、F分别为DD1、BD的中点
∴EF∥BD1
（3）∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中
∴B1C⊥BC1，B1C⊥C1D1
∴B1C⊥平面BC1D1
∴B1C⊥BD1
∵EF∥BD1
∴B1C⊥EF
又∵EF⊥FC
∴EF⊥平面FCB1
∵EF=BD1
∴EF=
∵FC⊥平面BDD1B1
∴FC⊥FB1
又∵在棱长为2的正方体中
∴FC=，FB1=
∴=
∴
所以三棱锥的体积为1．．