Question

若数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2且S_n+1=4a_n-2（n=1，2，3…）．
（I）求a₂，a₃；
（II）求证：数列{a_n-2a_n-1}是常数列；
（III）求证：．

Answer

（1）由Sn+1=4an-2（n=1，2，3），知S2=4a1-2=6．所以a2=S2-a1=4．a3=8．
（2）由Sn+1=4an-2（n=1，2，3），知Sn=4an-1-2（n≥2）；所以an+1=4an-4an-1由此入手能推导出数列{an-2an-1}是常数列．
（3）由题设条件知an=2n，所以．由此及彼可知．
【解析】
（1）∵Sn+1=4an-2（n=1，2，3），∴S2=4a1-2=6．∴a2=S2-a1=4．（2分）
同理可得a3=8．（3分）
（2）∵Sn+1=4an-2（n=1，2，3），∴Sn=4an-1-2（n≥2）．（4分）
两式相减得：an+1=4an-4an-1（5分）
变形得：an+1-2an=2an-4an-1=2（an-2an-1）（n≥2）
则：an-2an-1=2（an-1-2an-2）（n≥3）（6分）
an-2an-1=2（an-1-2an-2）=22（an-2-2an-3）=23（an-3-2an-4）
=2n-2（a2-2a1）∵a2-2a1=0∴an-2an-1=2n-2（a2-2a1）=0．
数列{an-2an-1}是常数列．（9分）
（3）由（II）可知：an=2an-1（n≥2）．
数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列．∴an=2n，（10分）
∴．（12分）
．（14分）