Question

当a＞0，a≠1时，函数f（x）=log_a（x-1）+1的图象恒过定点A，若点A在直线mx-y+n=0上，则4^m+2ⁿ的最小值是    ．

Answer

先根据函数解析式推断出函数图象恒过（2，1）点，求得A点坐标，把A点代入直线方程求得m和n的关系式，进而根据均值不等式求得4m+2n的最小值．
【解析】
整理函数解析式得f（x）-1=loga（x-1），故可知函数f（x）的图象恒过（2，1）即A（2，1），
故2m+n=1．
∴4m+2n≥2=2=2．
当且仅当4m=2n，即2m=n，
即n=，m=时取等号．
∴4m+2n的最小值为2．
故答案为：2