Question

已知整数数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，且2a_n-1＜a_n-1+a_n+1＜2a_n+1（n∈N，n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）将数列{a_n}中的所有项依次按如图所示的规律循环地排成如下三角形数表：

…
依次计算各个三角形数表内各行中的各数之和，设由这些和按原来行的前后顺序构成的数列为{b_n}，求b₅+b₁₀₀的值；
（3）令（b为大于等于3的正整数），问数列{c_n}中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由数列{an}是整数数列，结合2an-1＜an-1+an+1＜2an+1，可得2an=an-1+an+1，根据等差数列的定义，推出{an}是等差数列，进而求出其通项公式；
（2）仔细读题，找到其循环规律，确定bn是第几个循环中的第几行中各数之和是解题的关键．
（3）由（1）（2）的结论，求出cn的表达式，利用等比数列的定义，得到关于b、n的关系式，然后分n=1，n=2，n≥3分别讨论，即可得出结论．
【解析】
（1）因为数列{an}是整数数列，所以an是整数，
所以2an-1，an-1+an+1，2an+1都是整数．
又2an-1＜an-1+an+1＜2an+1（n∈N，n≥2），
所以2an=an-1+an+1，
即数列{an}是首项为1，公差d=a2-a1=1的等差数列，所以an=n．

（2）设每一个循环（4行）记为一组，由于每一个循环含有4行，
故b100是第25个循环中的第4行中各数之和．
由循环分组规律知，每个循环共有10项，
故第25个循环中的第4行内的4个数分别为数列{an}中的第247项至第250项，
又an=n．所以b100=247+248+249+250=994．
b5=a11=11，所以b5+b100=11+994=1005．

（3）因为，
设数列{cn}中，cn，cn+1，cn+2成等比数列，即cn+12=cn•cn+2，
所以（2+nb+b+b•2n）2=（2+nb+b•2n-1）（2+nb+2b+b•2n+1）
化简得b=2n+（n-2）•b•2n-1（*）
当n=1时，b=1，等式（*）成立，而b≥3，故等式（*）不成立；
当n=2时，b=4，等式（*）成立；
当n≥3时，b=2n+（n-2）•b•2n-1＞（n-2）•b•2n-1≥4b，这与b≥3矛盾，故等式（*）不成立．
综上所述，当b≠4时，数列{cn}中不存在连续三项等等比数列；
当b=4时，数列{cn}中存在连续三项等等比数列，这三项依次是18，30，50．