Question

已知函数，a为正常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=，求函数f（x）的单调增区间；
（2）在（1）中当a=0时，函数y=f（x）的图象上任意不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点为C（x，y），记直线AB的斜率为k，试证明：k＞f'（x）．
（3）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意的x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有，求a的取值范围．

Answer

（1）由题意先把f（x）的解析式具体，然后求其导函数，令导函数大于0，解出的即为函数的增区间；
（2）对于当a=0时，先把f（x）=lnx具体出来，然后求导函数，得到f′（x），在利用斜率公式求出过这两点的斜率公式，利用构造函数并利用构造函数数的单调性比较大小；
（3）因为g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意的x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，先写出g（x）的解析式，利用该函数的单调性把问题转化为恒成立问题进行求解．
【解析】
（1）
∵a=，令f'（x）＞0得x＞2或
∴函数f（x）的单调增区间为；

（2）证明：当a=0时f（x）=lnx
∴
∴
又
不妨设x2＞x1，要比较k与f'（x）的大小，
即比较与的大小，
又∵x2＞x1，
∴即比较与的大小．
令，
则
∴h（x）在[1，+∞）上位增函数．
又，
∴，
∴，
即k＞f'（x）；

（3）∵，
∴
由题意得F（x）=g（x）+x在区间（0，2]上是减函数．
1°当，
∴
由在x∈[1，2]恒成立．
设m（x）=，x∈[1，2]，则
∴m（x）在[1，2]上为增函数，
∴
2°当，
∴
由在x∈（0，1）恒成立
设t（x）=，x∈（0，1）为增函数
∴a≥t（1）=0
综上：a的取值范围为．