Question

下列命题中：①函数，f（x）=sinx+（x∈（0，π））的最小值是2；②在△ABC中，若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰或直角三角形；③如果正实数a，b，c满足a ₊ b＞c则+＞；④如果y=f（x）是可导函数，则f′（x）=0是函数y=f（x）在x=x处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是（ ）
A．①②③④
B．①④
C．②③④
D．②③

Answer

根据基本不等式和三角函数的有界性可知真假，利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，推断出A+B=或A=B，则三角形形状可判断出．构造函数y=，根据函数的单调性可证得结论；由函数极值点与导数的关系，我们易判断对错．
【解析】
①f（x）=sinx+≥2，当sinx=时取等号，而sinx的最大值是1，故不正确；
②∵sin2A=sin2B∴sin2A-sin2B=cos（A+B）sin（A-B）=0
∴cos（A+B）=0或sin（A-B）=0∴A+B=或A=B
∴三角形为直角三角形或等腰三角形，故正确；
③可构造函数y=，该函数在（0．+∞）上单调递增，a+b＞c则+＞，故正确；
④∵f（x）是定义在R上的可导函数，
当f′（x）=0时，x可能f（x）极值点，也可能不是f（x）极值点，
当x为f（x）极值点时，f′（x）=0一定成立，
故f′（x）=0是x为f（x）极值点的必要不充分条件，故④正确；
故选C．